میانگین، میانه و مد: سه جور «معدل» (Mean, Median, Mode)
سه راه درست برای گفتن اینکه چی معمولیه، و اینکه چرا یه عدد خیلی بزرگ می‌تونه میانگین رو از جایی که بیشتر آدم‌ها هستن خیلی دور کنه.
میانگین
همه رو جمع کن، تقسیم بر تعدادشون
وقتی مردم می‌گن «معدل» یا «به‌طور متوسط»، تقریباً همیشه منظورشون میانگین (mean)ـه: همه‌ی عددها رو با هم جمع می‌کنی، بعد تقسیم می‌کنی بر تعدادشون. از همه‌ی عددهایی که داری استفاده می‌کنه؛ این هم نقطه‌ی قوتشه، هم، همون‌طور که می‌بینی، نقطه‌ضعفش.
پنج همسایه ماهی ۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸ و ۴۰ میلیون تومن حقوق می‌گیرن. جمعشون می‌شه ۱۷۵؛ تقسیم بر ۵، میانگین می‌شه ۳۵ میلیون.
میانه (Median)
عدد وسطی، وقتی همه رو از کوچیک به بزرگ ردیف کردی. نصف عددها زیرش هستن و نصف بالاش. اگه تعداد عددها زوج باشه، دوتا عدد وسط داری، پس میانه می‌شه وسطِ اون دوتا.
۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸، ۴۰: میانه ۳۵ـه. برای ۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸، ۴۰، ۴۰۰ دوتا عدد وسط ۳۵ و ۳۸ هستن، پس میانه می‌شه ۳۶٫۵.
خودت رو امتحان کن
چهارتا دوست سهمشون از پول ناهار رو می‌دن: ۱۰، ۱۲، ۱۴ و ۲۴. میانگین پولی که دادن چقدره؟
- ۱۳
- ۱۴
- ۱۵
- ۲۴
جواب رو ببین
۱۵
درسته. ۱۰ + ۱۲ + ۱۴ + ۲۴ = ۶۰، و ۶۰ تقسیم بر ۴ می‌شه ۱۵. دقت کن که میانه اینجا ۱۳ـه (وسطِ ۱۲ و ۱۴): همین یه صورت‌حساب بزرگ‌تر، میانگین رو از میانه بالاتر کشیده.
قدم‌به‌قدم ببین
پنج حقوق توی یه کوچه پنج حقوق توی یه کوچه، به میلیون تومن در ماه: ۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸ و ۴۰، که به شکل نقطه‌های نارنجی روی یه محور عدد کشیده شدن. همه نزدیک هم نشستن، بین ۳۰ تا ۴۰؛ اون زیگزاگِ سمت راست یه شکستگی توی محوره که برای بعد جا نگه داشته.
میانگین و میانه هر دو ۳۵ دوتا نشونه‌ی بنفش کم‌رنگ درست یه جا ظاهر می‌شن: یه خط بالای محور برای میانه (median)، یعنی ۳۵، و یه مثلث زیرش برای میانگین (mean)، که اون هم ۳۵ـه. وقتی عددها این‌طوری مرتب پخش شدن، هر دو جور معدل یه جا می‌افتن.
یه نفر با حقوق خیلی بالا میاد یه همسایه‌ی ششم با حقوق ۴۰۰ میاد، خیلی سمت راست، اون‌ور یه شکستگی روی محور. میانگین تا حدود ۹۵٫۸ سُر می‌خوره (۵۷۵ تقسیم بر ۶)، ولی میانه فقط تا ۳۶٫۵ جابه‌جا می‌شه، یعنی وسطِ ۳۵ و ۳۸.
پنج نفر از شش نفر کمتر از میانگین یه کروشه زیر پنج نقطه‌ی پایینی نوشته 5 / 6 < mean: یعنی پنج نفر از شش نفر حالا خیلی کمتر از «میانگین» می‌گیرن، و دور نقطه‌ی ۴۰۰ یه حلقه کشیده شده، چون داده‌ی پرته. یه عدد افراطی میانگین رو کشید، نه وسط رو.
خودت رو امتحان کن
حالا شش‌تا حقوق داریم: ۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸، ۴۰ و ۴۰۰ میلیون. کدوم عدد به حقوق یه ساکن معمولی این کوچه نزدیک‌تره؟
- میانگین، حدود ۹۵٫۸
- میانه، ۳۶٫۵
- بیشترین حقوق، ۴۰۰
- هیچ‌کدوم: وقتی داده‌ی پرت هست، هیچ معدلی معنی نداره
جواب رو ببین
میانه، ۳۶٫۵
درسته. میانه، یعنی ۳۶٫۵، درست بین پنج‌تا حقوق معمولی نشسته. میانگینِ حدود ۹۶ از حقوق پنج نفر از شش نفر بیشتره.
داده‌ی پرت و داده‌ی چوله
تقریباً متقارن
عددها تقریباً یکسان دو طرف وسط پخش شدن، مثل همون پنج‌تا حقوق اول. میانگین و میانه نزدیک هم می‌افتن، پس فرقی نمی‌کنه کدوم رو بگی.
چوله (Skewed)
یه دُم دراز یه طرف داره، معمولاً به‌خاطر چندتا داده‌ی پرت (outlier)، یعنی عددهایی که از بقیه خیلی دورن. درآمد، قیمت خونه و ثروت یه دُم دراز از عددهای بالا دارن، برای همین میانگین بالاتر از میانه می‌افته. وقتی این دوتا از هم دورن، بپرس نویسنده کدوم رو انتخاب کرده و چرا.
خودت رو امتحان کن
توی هر شهری، نصف مردم بیشتر از میانگین درآمد می‌گیرن.
جواب رو ببین
نادرست
غلطه. «نصف بالا، نصف پایین» تعریف میانه‌ست. درآمد چوله‌ست، پس میانگین بالاتر از میانه می‌افته و معمولاً خیلی کمتر از نصف مردم بیشتر از اون می‌گیرن. توی کوچه‌ی ما فقط یه نفر از شش نفر.
مد
عددی که از همه بیشتر تکرار می‌شه
مد (mode) یعنی رایج‌ترین مقدار، همین. تنها معدلیه که برای دسته‌ها هم کار می‌کنه (محبوب‌ترین رنگ، رایج‌ترین جواب) و برای هر چیزی که فقط از یه فهرست ثابت انتخاب می‌شه به درد می‌خوره. داده می‌تونه دوتا مد داشته باشه (دونمایی یا bimodal) یا اگه هیچ عددی تکرار نشه، اصلاً مد نداشته باشه.
یه مغازه کفش‌هایی با سایز ۳۸، ۳۹، ۳۹، ۳۹، ۴۰، ۴۱، ۴۲ فروخته. مد ۳۹ـه، یعنی سایزی که باید بیشتر از همه ازش داشته باشی. میانگین حدود ۳۹٫۷ـه، سایزی که هیچ‌کس نمی‌پوشه.
خودت رو امتحان کن
رضا یه مغازه‌ی کفش داره و می‌خواد بدونه فصل بعد از کدوم سایز بیشتر از همه سفارش بده. باید به کدوم معدل نگاه کنه؟
- میانگین سایزهای فروخته‌شده
- میانه‌ی سایزهای فروخته‌شده
- مد، یعنی سایزی که بیشتر از همه فروش رفته
جواب رو ببین
مد، یعنی سایزی که بیشتر از همه فروش رفته
درسته. اون سایزی رو لازم داره که بیشتر مشتری‌ها واقعاً می‌خرن، و این یعنی مد. یه میانگین مثل ۳۹٫۷ اصلاً سایزی نیست که بشه سفارشش داد.
کدوم معدل، کِی
- برای پول، زمان انتظار و هر چیزی که چندتا عدد خیلی بزرگ داره، میانه آدم معمولی رو بهتر توصیف می‌کنه.
- وقتی جمع کل مهمه، میانگین درسته: بودجه‌ی کل یعنی میانگین ضربدر تعداد آدم‌ها.
- مد برای دسته‌ها و انتخاب‌های ثابته: سایز، رنگ، رایج‌ترین جواب.
- «متوسط» توی تیتر نمی‌گه کدوم معدل. اگه میانگین و میانه خیلی با هم فرق کنن، این مهمه.
- از معدل‌های گروه‌هایی که اندازه‌شون فرق داره معدل نگیر: یه کلاس ۱۰ نفره و یه کلاس ۴۰ نفره یه وزن ندارن.
خودت رو امتحان کن
- توی یه شهر کوچیک، فروردین ۲۰ تا آپارتمان معمولی فروش می‌ره. میانه‌ی قیمت ۲۰۰ هزار دلاره و میانگین ۲۱۰.
- اردیبهشت دوباره ۲۰ تا آپارتمان مشابه فروش می‌ره، به‌علاوه‌ی سه‌تا عمارت که هر کدوم ۳٬۰۰۰ هزار دلارن. یه گزارش می‌گه «متوسط قیمت خونه به حدود ۵۷۴ هزار دلار پرید».
محتمل‌ترین اتفاقی که بین فروردین و اردیبهشت افتاده چیه؟
- آپارتمان‌های معمولی توی یه ماه تقریباً سه برابر گرون شدن
- سه‌تا عمارت میانگین رو بالا کشیدن، ولی میانه، یعنی قیمت یه آپارتمان معمولی، تقریباً تکون نخورده
- میانه پریده و میانگین ثابت مونده
- حتماً گزارش عددها رو اشتباه جمع زده
جواب رو ببین
سه‌تا عمارت میانگین رو بالا کشیدن، ولی میانه، یعنی قیمت یه آپارتمان معمولی، تقریباً تکون نخورده
دقیقاً. سه‌تا عدد خیلی بزرگ میانگین رو خیلی بالا می‌کشن، درست مثل همون حقوق ۴۰۰. میانه هنوز بین آپارتمان‌های معمولی نشسته، پس تقریباً تکون نمی‌خوره. گزارشی که میانه رو می‌گفت، می‌گفت قیمت‌ها تقریباً ثابت موندن.
مرور درس
- میانگین همه رو جمع می‌کنه و تقسیم بر تعدادشون می‌کنه: ۳۰، ۳۲، ۳۵، ۳۸، ۴۰ می‌شه ۳۵.
- میانه عدد وسطیِ صفِ مرتب‌شده‌ست؛ اگه تعداد زوج باشه، وسطِ دوتا عدد وسطیه.
- یه داده‌ی پرت، یعنی حقوق ۴۰۰، میانگین رو تا حدود ۹۶ کشید، ولی میانه فقط تا ۳۶٫۵ رفت.
- درآمد و قیمت خونه چوله‌ان، برای همین میانگینشون بالاتر از میانه‌شونه؛ به همین خاطر مرکزهای آمار معمولاً میانه رو گزارش می‌کنن.
- مد رایج‌ترین مقداره، همونی که برای دسته‌ها و سایزها به کار میاد.