مربع اعداد و تکنیک‌های سریع (Squares & Near-Squares)
مربع هر عددی که به ۵ ختم می‌شه رو دو ثانیه‌ای حساب کن، مربع عددهای نزدیک ۵۰ و ۱۰۰ رو دربیار، و ۱۹ × ۲۱ رو بدون نوشتن تبدیل کن به ۲۰² − ۱.
ختم به ۵
رقم جلو ضرب عدد بعدیش، بعد ۲۵
هر عددی که به ۵ ختم می‌شه می‌شه ۱۰a + ۵. مربعش می‌شه ۱۰۰a² + ۱۰۰a + ۲۵، یعنی ۱۰۰ × a × (a+۱) + ۲۵. پس دو رقم آخر همیشه ۲۵ هست و هر چی جلوشه می‌شه تکه‌ی جلویی ضرب عدد یکی بالاترش.
۳۵²: ۳ × ۴ = ۱۲، بعد ۲۵ ← ۱۲۲۵. ۶۵²: ۶ × ۷ = ۴۲، بعد ۲۵ ← ۴۲۲۵. برای بیشتر از دو رقم هم جواب می‌ده: ۱۰۵² می‌شه ۱۰ × ۱۱ = ۱۱۰، بعد ۲۵ ← ۱۱۰۲۵.
۳۵²
تکه‌ی جلو: ۳
عدد بعدیش: ۴
۳ × ۴ = ۱۲
دُم: ۲۵
جواب: ۱۲۲۵
۶۵²
۶ × ۷ = ۴۲ ← ۴۲۲۵۱۲۲۵ و ۴۲۲۵دُمش همیشه دقیقاً ۲۵ هست، نه ۰۵ نه ۵۰. همین یه تیکه‌ست که اصلاً لازم نیست بهش فکر کنی.
خودت رو امتحان کن
یه حیاط مربعی هر ضلعش ۸۵ قدمه. مساحتش چند قدم مربعه؟
- ۶٬۴۲۵
- ۷٬۲۲۵
- ۷٬۲۵۰
جواب رو ببین
۷٬۲۲۵
آره. ۸ × ۹ = ۷۲، بعد دُم ۲۵، یعنی ۷٬۲۲۵.
نزدیک مربع
دو تا عدد، دو طرف یه عدد گرد
۱۹ × ۲۱ یعنی (۲۰ − ۱) ضرب (۲۰ + ۱). وقتی بازش کنی دو تا جمله‌ی وسط همدیگه رو حذف می‌کنن و می‌مونه ۲۰² − ۱² = ۳۹۹. قاعده‌ش اینه: (a − b)(a + b) = a² − b². هر وقت دو تا عدد به یه اندازه دو طرف یه عدد راحت بودن، اون عدد راحت رو مربع کن و مربع فاصله رو ازش کم کن.
۱۹ × ۲۱ = ۴۰۰ − ۱ = ۳۹۹. ۱۸ × ۲۲ = ۴۰۰ − ۴ = ۳۹۶. ۴۸ × ۵۲ = ۲۵۰۰ − ۴ = ۲۴۹۶.
پیدا کردن عدد وسط
- مسئله: ۴۸ × ۵۲
دو تا عدد که ۴ تا با هم فاصله دارن. عدد وسطشون ۵۰ هست، که راحت مربعش می‌کنی.
- فاصله تا وسط رو پیدا کن
۴۸ دو تا زیر ۵۰ هست و ۵۲ دو تا بالاش. پس فاصله ۲ هست، و باید دو طرف یکی باشه وگرنه این ترفند جواب نمی‌ده.
- عدد وسط رو مربع کن
۵۰² = ۲۵۰۰.
- مربع فاصله رو کم کن
۲۵۰۰ − ۲² = ۲۵۰۰ − ۴ = ۲۴۹۶. نه ۲۵۰۰ − ۲، و نه ۲۵۰۰ − ۸.
خودت رو امتحان کن
می‌دونی که ۳۰² = ۹۰۰. پس ۲۹ × ۳۱ می‌شه ۸۹۹.
جواب رو ببین
درست
درسته. ۲۹ و ۳۱ هر کدوم یکی این‌ور و اون‌ور ۳۰ هستن، پس حاصل می‌شه ۳۰² − ۱² = ۸۹۹. حواست باشه که جواب همیشه از مربع کمتره: وقتی به یه اندازه از دو طرف فاصله می‌گیری، همیشه یه کم مساحت از دست می‌ره.
نزدیک ۵۰، نزدیک ۱۰۰
مربع‌هایی که به یه نشانه آویزونن
برای عدد نزدیک ۵۰: از ۲۵ شروع کن، فاصله رو اضافه کن (یا اگه پایین‌تری کم کن)، این می‌شه صدگان. بعد مربع فاصله رو به‌عنوان دو رقم آخر بنویس. برای عدد نزدیک ۱۰۰: فاصله رو از خود عدد کم کن تا جلوش دربیاد، و باز مربع فاصله رو پشتش بذار.
۴۷² ← ۲۵ − ۳ = ۲۲ جلو، ۳² = ۰۹ پشتش ← ۲۲۰۹. ۵۳² ← ۲۵ + ۳ = ۲۸، بعد ۰۹ ← ۲۸۰۹. ۹۷² ← ۹۷ − ۳ = ۹۴، بعد ۰۹ ← ۹۴۰۹.
خودت رو امتحان کن
یه طرح کاشی مربعی ۵۴ در ۵۴ هست. چند تا کاشی می‌بره؟
- ۲٬۵۱۶
- ۲٬۹۰۴
- ۲٬۸۱۶
- ۲٬۹۱۶
جواب رو ببین
۲٬۹۱۶
درسته. ۵۴ چهار تا بالای ۵۰ هست، پس ۲۵ + ۴ = ۲۹ جلو و ۴² = ۱۶ پشتش: ۲٬۹۱۶.
| مسئله | کاری که می‌کنی | جواب |
|---|---|---|
| ۳۵² | ۳ × ۴ = ۱۲، دُم ۲۵ | ۱۲۲۵ |
| ۴۷² | ۲۵ − ۳ = ۲۲، دُم ۳² = ۰۹ | ۲۲۰۹ |
| ۹۷² | ۹۷ − ۳ = ۹۴، دُم ۳² = ۰۹ | ۹۴۰۹ |
| ۱۹ × ۲۱ | ۲۰² − ۱² | ۳۹۹ |
خودت رو امتحان کن
برای هر کدوم روش درست رو انتخاب کن و به جوابش وصل کن
جواب رو ببین
- ۴۵² → ۲۰۲۵
- ۹۹² → ۹۸۰۱
- ۱۸ × ۲۲ → ۳۹۶
- ۲۵² → ۶۲۵
عادتش کن
- به ۵ ختم می‌شه؟ جلو ضرب عدد بعدیش، بعد ۲۵. بدون استثنا، هر چقدر هم بزرگ باشه.
- دو تا عدد که به یه اندازه دو طرف یه عدد گردن؟ وسطی رو مربع کن، مربع فاصله رو کم کن.
- نزدیک ۵۰ یا ۱۰۰؟ اول تکه‌ی جلو، بعد مربع فاصله به‌عنوان دُم دو رقمی.
- هر سه‌تاش از همون جبر درس چهارم میان: پرانتز رو باز کن و ببین چی حذف می‌شه.
خودت رو امتحان کن
سؤال سخت. یه مستطیل ۹۸ در ۱۰۲ هست. مساحتش چقدره؟
- ۹٬۹۹۶
- ۹٬۹۹۸
- ۱۰٬۰۰۴
جواب رو ببین
۹٬۹۹۶
دقیقاً. هر دو ۲ تا با ۱۰۰ فاصله دارن، پس می‌شه ۱۰۰² − ۲² = ۱۰٬۰۰۰ − ۴ = ۹٬۹۹۶. یه ذره کمتر از مربع ۱۰۰ در ۱۰۰.
مرور درس
- عددی که به ۵ ختم می‌شه: تکه‌ی جلو ضرب عدد بعدیش، بعد دُم ۲۵. ۳۵² = ۱۲۲۵.
- دو تا عدد دو طرف یه عدد گرد: وسطی رو مربع کن و مربع فاصله رو کم کن. ۱۹ × ۲۱ = ۳۹۹.
- نزدیک ۵۰: ۲۵ به‌علاوه یا منهای فاصله جلو، مربع فاصله پشتش. ۴۷² = ۲۲۰۹.
- نزدیک ۱۰۰: فاصله رو از خود عدد کم کن تا جلو دربیاد، مربع فاصله پشتش و دو رقمی. ۹۷² = ۹۴۰۹.